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　数学思想是数学的精髓，在数学教学中具有重要的影响.对数学思想的充分理解和灵活运用是数学能力的集中体现.三角函数是高中数学的重要内容之一，其中蕴含着丰富的数形结合、转化与化归等数学思想.教会学生用常用的数学思想解决三角函数问题显得尤为重要.

　　一、基本数学思想在高中三角函数中应用的现实意义

　　数学思想是从数学知识中提炼出来的精髓.学生在学习数学知识时，掌握数学基础知识虽然重要，但只有掌握了数学思想并将其融入学生的心中，形成学生自己的解题思维，才能将知识转化为能力，提高学生的数学素质.三角函数是高中数学的重要内容.三角函数主要体现了等价的数学思想.三角函数问题无论是三角函数的求值题、求最值题、综合题、探索题还是应用题，均以考查三角变换为核心，所以，在教学时，引导学生熟练掌握并能灵活应用有关三角函数的公式，掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的.灵活地借助数学思想方法解答三角函数问题，可以有效地优化解题过程，增强学生分析与解决问题的能力.

　　二、高中三角函数中基本数学思想的体现

　　1.数形结合思想

　　数形结合是借助数的精确性，运用数与形的关系来解决数学问题的一种重要的数学思想.它可以把抽象的问题转化为具体直观的图形，从而简明直观地呈现问题.体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图像求三角函数定义域、求单调区间、解三角不等式、讨论方程实根的个数、比较大小等.

　　例1 求sin|x|>|cosx|在［-π，π］上的解集.

　　解析 设y1=sin|x|，y2=|cosx|，在同一坐标系中作出在［0，π］上两函数图像(如图)，在［0，π］上解得sin|x|=|cosx|的解为x=π[]4或x=3π[]4.因此，由图像要使得y1>y2，即π[]4<x<3π[]4，由于y1=sin|x|，y2=|cosx|在［-π，π］上为偶函数，因此在［-π，0］上的解为-3π[]4<x　　2.分类讨论思想

　　分类讨论可以使复杂的问题逐渐简单化，它在很大程度上缩小了解题的讨论范围，将问题化整为零，各个击破，是解决三角函数问题中的一种重要解题策略.它有三个重要的原则，即不重复、不越级、不遗漏.

　　例2 求函数f(x)=cos2x+2asinx-1(0≤x≤2π，a∈R)的最大值和最小值.

　　3.转化与化归思想

　　转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的思想方法.是把未知的问题转化为已有知识范围内的问题的一种重要的思想方法，通过不断的转化，把不熟悉的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题.三角函数中的许多较为复杂的问题都可以通过化归转化得到解答.化归转化思想处理数学问题的实质是逐步将简单问题代替复杂问题、多种函数问题向单一函数问题转化、特殊问题向一般问题转化、抽象问题向具体问题转化等.转化时要特别注意问题的等价性.

　　等价转化思想渗透于数学的各个部分，在三角函数中的渗透尤其明显，利用简化公式(诱导公式)将任意角三角函数转化为锐角三角函数，利用两角和差公式、二倍角公式将一些非特殊角转化为特殊角，利用三角公式将复杂的三角函数式转化为简单形式.在解题中注重培养和训练学生的转化意识，有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技巧.

　　例3 已知3sin2α+2sin2β=sinα+2，求sin2α+sin2β的取值范围.

　　的取值范围是4[]9,9[]8.要注意转化的等价性，这里u=sinα取不到最小值-1.

　　4.建模思想

　　建模思想是根据实际问题建立相应的数学模型来解决较为抽象的数学问题，以此达到解决实际问题的一种数学思想方法.在解决三角函数问题时，我们可以引导学生通过建模思想将数据搭建为图形模具，从而利用三角函数解决问题.

　　例4 如图，南京市城市规划期间，想要拆除长江岸边的一座风电塔，已知风电塔AB的水平距离20 m处是河岸，

　　即BD=20 m.该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2 m，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D,E之间是宽2 m的人行道，请你通过计算说明在拆除风电塔AB时，为确保安全，是否将此人行道封上?(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)

　　分析 这道题实质是比较BE与AB的大小，若BE>AB，不用封道；若BEAB，不需要封人行道.

　　说明 这类题在求解过程中，好多地方运用了建模的数学思想方法，由所求的问题逐步探索，最终获得答案，使学生产生一种由衷的喜悦之情，获得成就感，增强了学生学习三角函数的积极性.

　　5.函数思想

　　三角函数其本身就是一种特殊的函数，解决三角函数的问题自然离不开函数思想，体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值(范围)问题；有些三角函数的问题可以直接转化为一元二次方程求解；还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最直接体现.函数思想是在解决三角函数问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相关问题的分析，最终获得最佳答案.

　　6.逆向思想

　　一般情况下逆向思想是在正面考虑难以进行时采用的，从问题的反面进行思考解题思维策略，正确使用这种策略，可以有效地使解题状况起死回生，找到求解的新途径.

　　例题 将函数f(x)=sinx的图像向右平移π[]4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y=1-2sin2x的图像，求f(x)的解析式.

　　解析 我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑.

　　因为y=1-2sin2x=cos2x关于x轴的对称变换为y=-cos2x，然后再向左平移π[]4个单位得y=-cos2x+π[]4=sin2x=2cosx·sinx，对照比较原函数y=f(x)sinx得f(x)=2cosx.

　　三、结 语

　　数学思想的渗透是在学生掌握数学知识的同时经过反复应用、潜移默化而形成的.作为高中数学教师，我们在三角函数教学中应当引导学生充分掌握和运用题型中蕴含的主要数学思想，在教学过程中渗透和强化三角函数数学思想的训练，逐步促进学生知识体系的完善，建立系统科学的解题技巧，切实推进高中三角函数教学，提高学生的学习成绩和我们的教学效果.若学生能很好地掌握好在三角函数教学中运用题型中蕴含的主要数学思想这部分内容，在以后的学习中将有很大的受益.以上仅是本人的一些浅层次认识，还有待于我们在教学实践中进一步作更加具体的深入细致的研究.